剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字

题目描述：

0,1,,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。

示例：

输入: n = 5, m = 3
输出: 3

输入: n = 10, m = 17
输出: 2

思路：

思路①：创立数组，每当到m-1位置时，删除数组中元素，然后将位置计0重新开始

思路②：

  1. n个人编号0,1,2,…,n-1，每数m次删掉一个人
  2. 假设有函数f(n)表示n个人最终剩下人的编号
  3. n个人删掉1个人后可以看做n-1的状态，不过有自己的编号。
  4. n个人删掉的第一个人的编号是(m-1)%n，那么n个人时删掉第一个人的后面那个人(m-1+1)%n一定是n-1个人时候编号为0的那个人，即n个人时的编号m%n（这个编号是对于n个人来考虑的），n-1个人时编号为i的人就是n个人时(m+i)%n
  5. 所以f(n)=(m+f(n-1))%n
  6. f(1)=0，因为1个人时只有一个编号0。因此可以将人数从2反推到n

思路②（另一种解释）：
在这 n个数字中， 第一个被删除的数字是(m-1)%n。为了简单起见，我们把(m- 1)%n 记为 k，那么删除k之后剩下的 n-1 个数字为 0，1，… ，k-1，k+1，… ，n-1，并且下一次删除从数字 k+1 开始计数。相当于在剩下的序列中， k+1 排在最前面，从而形成 k+1，… ，n- 1，0，I，… ，k-1 。该序列最后剩下的数字也应该是关于 n 和 m 的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样（最初的序列是从 0 开始的连续序列），因此该函数不同于前面的函数，记为 f’(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字 f(n, m）一定是删除一个数字之后的序列最后剩下的数字，即 f(n, m)=f’(n-1, m）。

接下来我们把剩下的这 n-1 个数字的序列 k-1， …，n-1，0，1，… ，k-1 做一个映射，映射的结果是形成一个从 0 到 n-2 的序列：
在这里插入图片描述

代码：

思路①：

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var lastRemaining = function(n, m) {
    if(n<1||m<1) return -1; 
    var arr=[];
    for(var i=0;i<n;i++) arr.push(i);
    var idx=0;
    var start=0;
    while(arr.length>1){
        for(var i=1;i<m;i++){//找到第m个位置
            idx=(idx+1)%arr.length;
        }
        arr.splice(idx,1)       
    } 
    return arr[0];
}

思路②：

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var lastRemaining = function(n, m) {
    let result = 0;
    for(let i = 2; i <= n; i++) {
        result = (result + m) % i;
    }
    return result
};